HIPERBOLA

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0,0) y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces
El centro está en

Los vértices están en

Los focos están en

.




Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

El centro está en

Los vértices están en

.




Los focos están en

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro en (h,k) .El segmento recto de longitud 2b que une

se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.



Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son

y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

Ecuacion y Grafica de una Hiperbola (Parte 2 de 2)

Ecuacion y Grafica de una Hiperbola (Parte 1 de 2)

Demostración de la ecuación de la elipse con centro en el origen - Horiz...

Graficar una Elipse (parte 1 de 2)

Elementos de una elipse dada su ecuación (centro origen) P1 - HD

ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:
El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
el semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
[editar]Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).


La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia fo
cal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro (h,k), es

La ecuación se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados.

Si a > b, la ecuación corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x



Si b > a, la ecuación corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y

Obtener elementos de la parábola dada su ecuación general - TCP (PARTE 1)

Obtener la ecuación de la parábola dado su vértice, foco o directriz (PA...

Demostración de la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el o...

Demostración de ecuaciones de la parábola (no origen)

La parábola

La parabóla es el lugar geomtetrico de los puntos P(x,y) del plano, que equidistan de una recta fija denominada directriz y de un punto fijo F, llamado foco. Así, d(P,M) = d(P,F)donde M es el punto sobre el que se proyecta P en la directriz
En una parábola se distinguen los siguientes elementos:
Eje de simetría: es la linea recta L donde una rama de la parábola se refleja en otra
Vértice: es el punto V de intersección de la parábola con el eje de simetría
Foco: es el punto fijo F del plano que equidista de cualquier punto sobre la parábola y se encuentra sobre ele eje de simetría
Directriz: en la linea recta D cuya distancia a cualquier punto es la misma, es perpendicular al eje de simetría
Lado recto: es la cuerda LR perpendicular al eje de simetría de la parábola que pasa por el foco

A partir de la definición de la parábola se plantean las siguientes conclusiones
- El vértice de la parábola es el punto medio del FQ, donde D es el foco y Q es la intersección de el eje de simetría de la directriz
- El lado recto LR de la parábola y el RT perpendicular a la directriz, se tiene que son: FR=RT. Además, RT=FQ
Como V es el punto medio de FQ Y FE=RT, entonces RT=2FV
Como L y R son simetricos con respecto al eje de simetría de la parabola, entonces:
LD=FR, de donde LR=2FR y como FR=RT y RT=2FV se tiene que:
LR=2FR=2RT=2(2FV)4FV
Por lo tanto, el lado recto de la parabola LR=4FV

Ecuacion canónica de la parabola con vertice (0,0)

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es .

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k+p) es

,

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h+p, k) es

.


La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

si y sólo si

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

EJERCICIOS

ecuacion general de la recta

problema del calculo de la pendiente de una recta

inclinacion y pendiente de una recta

Ecuacion general de la recta

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas:

• Con regla y escuadra
• Con regla y compás

Teorema:
En un plano, dos rectas perpendiculares
a una tercera son paralelas.

Propiedades del paralelismo

• Carácter reflexivo: Toda recta es paralela a si misma.

• Carácter simétrico: Si una recta es paralela a otra, ésta es paralela a la primera.

• Carácter transitivo: Si una recta es paralela a otra y ésta es paralela a una tercera, la primera recta es paralela a la tercera.

 

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.

El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas:

• Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.
• Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma. 

Propiedades de la perpendicularidad

• Carácter reflexivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter reflexivo.

• Carácter simétrico: Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.

• Carácter transitivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter transitivo.

ECUACION GENERAL

La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde A, B y C son números reales.

La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita (es decir, despejada y):

By = -Ax-C   ->    -> la pendiente es: m = -A/B

 

 

 

 1. La ecuación general de una recta es 2x-3y+6=0. Calcula la pendiente de la recta.

 2. Calcula el valor de k para que la ecuación de la recta kx+3y-9=0 tenga por pendiente m=-1.

ECUACION CANONICA

Una recta que no sea vertical x = a ni horizontal y = b y no pase por el origen de coordenadas corta a los ejes coordenados en dos puntos (a,0) (0,b), teniendo en cuenta esta característica se puede dar una ecuación de la recta que se base en ella, su expresión es y se llama ecuación canónica de la recta.

Decuzcamos esta expresión a partir de la ecuación continua.

Si la recta pasa por (a,0) (0,b) un vector de dirección es , tomemos la expresión de la ecuación continua usando el punto (a,0)

Ecuación canónica de la recta


 

Ejemplo

Halla la ecuación canónica de la recta que pasa por A(2,0) y B(0,3)

ECUACIONES DE LA RECTA

Ecuación explícita de una recta

La ecuación explícita de la recta viene dada por la ya conocida expresión: 

 

Ecuación general o implícita de una recta

La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Es lo que se denomina:

Ecuación general o implícita de la recta: 

 

 

Ejemplo: Ecuación general

 

Halla la ecuación general de la recta

 

Solución: 

Nos dan la ecuación explícita:

Tenemos que pasar todos los términos de la ecuación al lado izquierdo y ordenarlos: 

Opcionalmente, podemos quitar denominadores:

 

Ecuación punto-pendiente de una recta

Una recta queda perfectamente determinada por su inclinación y por un punto contenido en ella. Esto nos permite dar el siguiente resultado: 

Sea un punto de una recta y su pendiente, entonces su ecuación viene dada por:  

expresión que se denomina ecuación punto-pendiente de la recta.

Para comprobar que esta es la ecuación de la recta, comprobaremos que su pendiente es . En efecto: y que pasa por el punto dado

• Si desarrollamos la expresión de la ecuación punto-pendiente, se obtiene:

de donde se observa que el coeficiente e la x es  m, y por tanto, la pendiente de la recta.

• Si sustituimos el punto 

 

en la ecuación punto-pendiente, es decir, hacemos

e,

se obtiene,

 

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Como dos puntos terminan una única recta que pasa por ellos, podemos dar el siguiente resultado:

Ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos

Sean  

y  

dos puntos de una recta (que no sea horizontal *), entonces la ecuación de la recta viene dada por la expresión:

expresión que se denomina ecuación continua de la recta.

Además, su pendiente es: