HIPERBOLA

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0,0) y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces
El centro está en

Los vértices están en

Los focos están en

.




Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

El centro está en

Los vértices están en

.




Los focos están en

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro en (h,k) .El segmento recto de longitud 2b que une

se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.



Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son

y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

Ecuacion y Grafica de una Hiperbola (Parte 2 de 2)

Ecuacion y Grafica de una Hiperbola (Parte 1 de 2)

Demostración de la ecuación de la elipse con centro en el origen - Horiz...

Graficar una Elipse (parte 1 de 2)

Elementos de una elipse dada su ecuación (centro origen) P1 - HD

ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:
El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
el semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
[editar]Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).


La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia fo
cal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro (h,k), es

La ecuación se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados.

Si a > b, la ecuación corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x



Si b > a, la ecuación corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y

Obtener elementos de la parábola dada su ecuación general - TCP (PARTE 1)

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Demostración de ecuaciones de la parábola (no origen)

La parábola

La parabóla es el lugar geomtetrico de los puntos P(x,y) del plano, que equidistan de una recta fija denominada directriz y de un punto fijo F, llamado foco. Así, d(P,M) = d(P,F)donde M es el punto sobre el que se proyecta P en la directriz
En una parábola se distinguen los siguientes elementos:
Eje de simetría: es la linea recta L donde una rama de la parábola se refleja en otra
Vértice: es el punto V de intersección de la parábola con el eje de simetría
Foco: es el punto fijo F del plano que equidista de cualquier punto sobre la parábola y se encuentra sobre ele eje de simetría
Directriz: en la linea recta D cuya distancia a cualquier punto es la misma, es perpendicular al eje de simetría
Lado recto: es la cuerda LR perpendicular al eje de simetría de la parábola que pasa por el foco

A partir de la definición de la parábola se plantean las siguientes conclusiones
- El vértice de la parábola es el punto medio del FQ, donde D es el foco y Q es la intersección de el eje de simetría de la directriz
- El lado recto LR de la parábola y el RT perpendicular a la directriz, se tiene que son: FR=RT. Además, RT=FQ
Como V es el punto medio de FQ Y FE=RT, entonces RT=2FV
Como L y R son simetricos con respecto al eje de simetría de la parabola, entonces:
LD=FR, de donde LR=2FR y como FR=RT y RT=2FV se tiene que:
LR=2FR=2RT=2(2FV)4FV
Por lo tanto, el lado recto de la parabola LR=4FV

Ecuacion canónica de la parabola con vertice (0,0)

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es .

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k+p) es

,

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h+p, k) es

.


La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

si y sólo si

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos